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Arkussinus Rechner

Eingabewert

arcsin(x) in Grad30 °
arcsin(x) in Bogenmaß0,5236
Eingabewert x0,5

Definitionsbereich

Der Arkussinus ist nur für x ∈ [−1, 1] definiert. Das Ergebnis liegt im Hauptwertbereich [−90°, 90°] bzw. [−π/2, π/2].

Was bedeutet arcsin(x)?

Der Arkussinus ist die Umkehrfunktion des Sinus auf dem Hauptwertbereich [−π/2, π/2] bzw. [−90°, 90°]. Aus einem Sinuswert x wird der zugehörige Winkel α zurückgerechnet.

Außerhalb von [−1, 1] existiert kein reeller Winkel, dessen Sinus diesen Wert annimmt – der Rechner meldet daher einen Fehler.

Welche Eingaben braucht der Arkussinus Rechner?

  1. Tragen Sie einen Wert x zwischen −1 und 1 ein.
  2. Das Ergebnis wird automatisch in Grad und Bogenmaß angezeigt.
  3. Werte außerhalb des Definitionsbereichs werden klar als ungültig markiert.

Formel und Wertebereich von arcsin

α = arcsin(x), x ∈ [−1, 1], α ∈ [−90°, 90°]

Wichtige Werte: arcsin(0) = 0°, arcsin(0,5) = 30°, arcsin(√2/2) = 45°, arcsin(1) = 90°. Umrechnung Bogenmaß ↔ Grad: 1 rad ≈ 57,2958°.

Beispiel aus dem Alltag

Ein Dachstuhl hat ein Verhältnis von Höhe zur Hypotenuse der Sparren von 0,5. Welcher Dachneigungswinkel entspricht das?

α = arcsin(0,5) = 30°. Die Dachneigung beträgt also 30°.

Warum nur ein eingeschränkter Wertebereich?

Sinus ist periodisch und nicht injektiv – mehrere Winkel können denselben Sinuswert haben. Damit die Umkehrfunktion eindeutig ist, beschränkt man sich auf den Hauptwert −90° bis 90°.

FAQ: Häufige Fragen

Was ist mit Werten außerhalb von [−1, 1]?+

Sie liegen außerhalb des Definitionsbereichs des reellen Arkussinus und liefern kein Ergebnis.

Wie kommt man auf den vollen Lösungsbereich?+

Aus α₁ = arcsin(x) folgt zusätzlich α₂ = 180° − α₁ als weitere Lösung im Intervall [0°, 360°).

Was ist der Unterschied zu arcsin und sin⁻¹?+

Beide Schreibweisen bezeichnen dieselbe Funktion. „sin⁻¹“ ist hier nicht der Kehrwert von Sinus.

Quellen

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