Quadratische Gleichung Rechner
Koeffizienten ax² + bx + c = 0
Was eine quadratische Gleichung beschreibt
Eine quadratische Gleichung der Form ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 0 beschreibt die Nullstellen einer Parabel f(x) = ax² + bx + c. Je nach Vorzeichen der Diskriminante D = b² − 4ac gibt es zwei reelle, eine doppelte oder zwei konjugiert komplexe Lösungen.
Quadratische Gleichungen tauchen in Wurfparabeln, Bremswegen, Optimierungsaufgaben, Zinsformeln und elektrischen Schwingungen auf.
Mitternachtsformel und Diskriminante
Diskriminante D = b² − 4ac. D > 0 → zwei reelle Lösungen, D = 0 → eine doppelte Lösung, D < 0 → zwei komplex konjugierte Lösungen. Der Scheitelpunkt liegt bei x_S = −b / (2a).
Beispiel aus dem Alltag
Ein Ball wird mit 10 m/s senkrecht nach oben geworfen. Die Höhe nach t Sekunden ist h(t) = −4,9t² + 10t. Setzt man h(t) = 0, ergibt das die Gleichung −4,9t² + 10t = 0 mit den Lösungen t₁ = 0 und t₂ ≈ 2,04 s.
Der Ball ist also nach gut zwei Sekunden wieder am Boden, der höchste Punkt liegt nach der halben Flugzeit bei rund 1,02 s.
Typische Fehler beim Lösen
Vorzeichenfehler bei b² − 4ac sind die häufigste Fehlerquelle. Achten Sie bei negativen b auf das Quadrat: (−b)² = b².
Bei a = 0 ist die Gleichung nicht mehr quadratisch, sondern linear. Der Rechner verlangt deshalb a ≠ 0.
FAQ: Häufige Fragen
Was bedeutet eine negative Diskriminante?+
Es gibt keine reellen Lösungen, aber zwei zueinander konjugiert komplexe. Der Rechner zeigt sie in der Form α ± β·i an.
Was ist der Scheitelpunkt der Parabel?+
Der Extrempunkt der Funktion f(x) = ax² + bx + c. Er liegt bei x_S = −b/(2a), y_S = f(x_S). Bei a > 0 ist es ein Minimum, bei a < 0 ein Maximum.
Funktioniert auch die p-q-Formel?+
Ja. Teilen Sie die Gleichung zuerst durch a (Normalform x² + px + q = 0) und nutzen Sie x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q). Das liefert dasselbe Ergebnis.
Quellen
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