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Nullstellen Rechner

Funktionstyp

Linear: a·x + b = 0

Quadratisch: a·x² + b·x + c = 0

Polynomisch / numerisch

  • • Exakte Lösung mit der Mitternachtsformel.
Nullstelle(n)x = 1,00000 x = 2,00000
Verwendete MethodeMitternachtsformel
Anzahl gefundener Nullstellen2
RechenwegDiskriminante D = b² − 4·a·c = 1,0000 • x₁,₂ = (−b ± √D) / (2·a)

Hinweis

Lineare und quadratische Gleichungen werden algebraisch exakt gelöst. Polynomische und allgemeine Funktionen werden numerisch (Vorzeichenwechsel + Bisektion) im angegebenen Suchbereich genähert. Mehrfachnullstellen ohne Vorzeichenwechsel können dabei übersehen werden.

Erklärung

Eine Nullstelle einer Funktion f(x) ist ein x-Wert, an dem f(x) = 0 gilt. Lineare und quadratische Gleichungen lassen sich exakt mit den klassischen Formeln lösen; bei höheren Polynomen oder gemischten Funktionen nutzt der Rechner ein numerisches Verfahren (Bisektion).

Wichtig: Bei der numerischen Suche werden nur Nullstellen erkannt, an denen die Funktion ihr Vorzeichen wechselt. Doppelte Nullstellen ohne Vorzeichenwechsel können dadurch übersehen werden.

So funktioniert es

  1. Wählen Sie den Funktionstyp (linear, quadratisch oder polynomisch/numerisch).
  2. Bei linear oder quadratisch tragen Sie die Koeffizienten a, b und c ein.
  3. Bei numerischer Suche geben Sie die Funktion und einen Suchbereich (xmin, xmax) ein.
  4. Der Rechner zeigt alle gefundenen Nullstellen, die Diskriminante (bei quadratisch) und einen kurzen Rechenweg.

Formel

Quadratisch: x₁,₂ = (−b ± √(b² − 4·a·c)) / (2·a)

Linear: x = −b / a. Polynomisch / numerisch: Vorzeichenwechsel im Suchbereich werden mit dem Bisektionsverfahren bis auf etwa 10⁻¹⁰ genau eingegrenzt.

Beispiel aus dem Alltag

Ein Schüler löst x² − 3x + 2 = 0 mit a = 1, b = −3, c = 2. Diskriminante D = 9 − 8 = 1. Lösungen: x₁ = 1, x₂ = 2.

Für f(x) = x³ − x findet der Rechner im Bereich [−10, 10] die Nullstellen x = −1, x = 0 und x = 1.

FAQ: Häufige Fragen

Welche Gleichungen werden exakt gelöst?+

Lineare (a·x + b = 0) und quadratische (a·x² + b·x + c = 0) Gleichungen werden algebraisch exakt mit der Mitternachtsformel gelöst.

Wie funktioniert die numerische Methode?+

Der Suchbereich wird in 200 Teilintervalle zerlegt. Bei jedem Vorzeichenwechsel wird die Nullstelle per Bisektion eingegrenzt.

Warum werden manchmal keine Nullstellen gefunden?+

Entweder existieren keine reellen Nullstellen (z. B. D < 0) oder sie liegen außerhalb des Suchbereichs. In dem Fall den Bereich vergrößern.

Quellen

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