Normalverteilung Rechner

Die Normalverteilung beschreibt zufällige Größen, die symmetrisch um einen Mittelwert streuen – etwa Körpergrößen, Messfehler oder Prüfergebnisse. Charakteristisch ist die Glockenkurve mit μ als Maximum und σ als Maß für die Streuung.

Rund 68 % aller Werte liegen im Bereich μ ± σ, etwa 95 % in μ ± 2σ und 99,7 % in μ ± 3σ. Diese 68-95-99,7-Regel hilft, Ergebnisse einzuordnen, bevor man eine genaue Wahrscheinlichkeit berechnet.

1. Mittelwert μ und Standardabweichung σ eintragen (σ muss größer als 0 sein).
2. Berechnungsmodus auswählen: P(X ≤ x), P(X ≥ x), P(a ≤ X ≤ b), z-Wert oder Quantil.
3. Je nach Modus die Grenzen x, a, b oder die Wahrscheinlichkeit p eingeben.
4. Dezimalstellen für die Anzeige festlegen – die Berechnung selbst arbeitet hochpräzise.

Φ ist die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung, Φ⁻¹ ihre Inverse für Quantile. Der z-Wert standardisiert eine Beobachtung auf μ = 0 und σ = 1.

Φ(z) hat keine elementare Form. Der Rechner verwendet eine numerisch stabile Approximation auf Basis der Fehlerfunktion erf(x) (Abramowitz/Stegun 7.1.26) mit einer Genauigkeit besser als 1·10⁻⁷.

Quantile werden über die Beasley-Springer-Moro-Approximation für Φ⁻¹(p) bestimmt – in der Praxis hinreichend genau für klassische Statistik-Aufgaben.

Ein z-Wert sagt, wie viele Standardabweichungen ein Beobachtungswert vom Mittelwert entfernt liegt. |z| > 2 deutet auf einen ungewöhnlich hohen oder niedrigen Wert hin.

Eine Wahrscheinlichkeit ist immer eine Aussage über einen Bereich – „mindestens“, „höchstens“ oder „zwischen“. Quantile drehen die Frage um: Welcher x-Wert wird mit gegebener Wahrscheinlichkeit nicht überschritten?