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Logarithmus Rechner

Logarithmus

log_b(x)3,000000
Verwendete Basis b10,0000
ln(x) (natürlicher Logarithmus)6,907755
lg(x) (dekadischer Logarithmus)3,000000
lb(x) (Zweierlogarithmus)9,965784
Probe: b^y1.000,0000

Rechenweg

Basiswechselsatz: log_b(x) = ln(x) / ln(b) = 6,9078 / 2,3026 = 3,000000

Was ist der Logarithmus?

Der Logarithmus log_b(x) beantwortet die Frage: Mit welcher Hochzahl muss die Basis b potenziert werden, um x zu erhalten? Er ist also die Umkehrung des Potenzierens.

Häufige Sonderfälle sind ln (Basis e), lg (Basis 10) und lb (Basis 2). Sie alle lassen sich über den Basiswechselsatz ineinander umrechnen.

Logarithmus mit beliebiger Basis berechnen

log_b(x) = ln(x) / ln(b) · ln(x) = log_e(x) · lg(x) = log_10(x) · lb(x) = log_2(x)

x muss positiv sein. Die Basis b muss positiv und ungleich 1 sein, sonst ist der Logarithmus nicht definiert.

So nutzen Sie den Logarithmus Rechner

  1. Geben Sie die Zahl x ein, deren Logarithmus Sie suchen.
  2. Wählen Sie eine Standardbasis (10, e, 2) oder geben Sie eine eigene Basis ein.
  3. Lesen Sie log_b(x) sowie ln, lg und lb gleichzeitig ab und prüfen Sie das Ergebnis mit der Probe b^y.

Wie sich Logarithmen im Alltag interpretieren lassen

Logarithmen messen Größenordnungen statt absoluter Werte. lg(1 000) = 3 bedeutet z. B. drei Größenordnungen über 1.

In Wachstumsmodellen beschreibt ln, wie viel Zeit bei kontinuierlichem Wachstum nötig ist; lb wird in der Informatik eingesetzt, etwa bei Suchbäumen.

Beispiel aus dem Alltag

Eine Datenbank mit 1 024 Einträgen verdoppelt ihr Suchbäumeniveau pro Schritt. Der Rechner liefert lb(1 024) = 10 – ein binärer Suchbaum braucht also höchstens 10 Schritte.

Für x = 1 000 und Basis 10 ergibt der Rechner lg(1 000) = 3, weil 10³ = 1 000 ist.

Häufige Fehler beim Logarithmieren

Logarithmus von 0 oder einer negativen Zahl ist nicht definiert. Geben Sie nur positive x-Werte ein.

Eine Basis von 1 oder eine negative Basis ist ebenfalls nicht erlaubt – der Rechner gibt eine entsprechende Meldung aus.

FAQ: Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen ln, log und lg?+

ln nutzt die Basis e ≈ 2,718, lg die Basis 10. „log“ ohne Index ist mehrdeutig – meist ist im deutschsprachigen Raum log = lg gemeint, in der Informatik oft log = lb.

Warum ist log(0) oder log(−5) nicht definiert?+

Es gibt keine reelle Zahl y mit b^y = 0 oder b^y < 0 (für positives b). Daher ist der Logarithmus nur für x > 0 definiert.

Wie funktioniert der Basiswechselsatz?+

log_b(x) = ln(x) / ln(b). Damit lässt sich jeder Logarithmus auf den natürlichen Logarithmus zurückführen.

Wo treten Logarithmen im Alltag auf?+

Bei pH-Wert, Schalldruck (dB), Erdbebenstärke (Richterskala) und in vielen Wachstums- und Zerfallsprozessen.

Quellen

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