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Linear Interpolation Rechner

Punkt 1 (bekannt)

Punkt 2 (bekannt)

Gesuchter x-Wert

P₁P₂P
Interpolierter Wert y40,000000
Steigung m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)10,000000
Achsenabschnitt b (y bei x = 0)0,000000

Rechenweg

y = y₁ + (x − x₁) · (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) = 0,0000 + (4,0000 − 0,0000) · 10,000000 = 40,000000

Was lineare Interpolation ist

Die lineare Interpolation ist die einfachste Methode, um aus zwei bekannten Datenpunkten einen Zwischenwert zu schätzen. Dabei wird angenommen, dass sich die Größe zwischen den beiden Punkten geradlinig verändert.

Geometrisch entspricht das einer Geraden, die durch beide Punkte verläuft. Jeder x-Wert auf dieser Geraden hat einen eindeutig zugeordneten y-Wert, der sich aus der Geradengleichung ergibt.

Liegt der gesuchte x-Wert außerhalb des Intervalls [x₁, x₂], spricht man nicht mehr von Interpolation, sondern von Extrapolation. Diese ist meist deutlich ungenauer, weil das lineare Modell außerhalb der Stützpunkte oft nicht mehr zutrifft.

Punkte und gesuchten x-Wert eintragen

  1. Tragen Sie die Koordinaten des ersten bekannten Punkts (x₁, y₁) ein.
  2. Tragen Sie die Koordinaten des zweiten bekannten Punkts (x₂, y₂) ein.
  3. Geben Sie den x-Wert ein, für den Sie den zugehörigen y-Wert suchen.
  4. Die Skizze zeigt beide Stützpunkte und den interpolierten Punkt auf der Geraden.
  5. Sie sehen sofort den interpolierten Wert y, die Steigung m und den Achsenabschnitt b der Geraden.

Formel der linearen Interpolation

y = y₁ + (x − x₁) · (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) · m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) · b = y₁ − m · x₁

Voraussetzung: x₁ ≠ x₂. Die Gerade durch beide Punkte hat die Gleichung y = m · x + b. Liegt x zwischen x₁ und x₂, handelt es sich um Interpolation. Liegt x außerhalb dieses Intervalls, um Extrapolation – der Rechner weist in diesem Fall darauf hin.

Anwendungsfelder im Alltag und in der Technik

Lineare Interpolation kommt überall dort zum Einsatz, wo nur diskrete Stützstellen vorliegen, aber Zwischenwerte benötigt werden: in physikalischen Tabellen (z. B. Sättigungsdampfdruck, Dichte), bei Sensordaten zwischen zwei Messzeitpunkten, in Animationen (Tweening) oder bei der Umrechnung zwischen zwei Wertebereichen.

Sie ist genau dann zulässig, wenn der wahre Verlauf der Größe zwischen den Stützpunkten nahezu linear ist. Bei stark gekrümmten Verläufen (z. B. exponentiellem Wachstum) liefert die lineare Interpolation nur eine grobe Näherung.

Beispiel aus dem Alltag

Eine Wetterstation misst um 8:00 Uhr eine Temperatur von 12 °C und um 12:00 Uhr eine Temperatur von 20 °C. Wie warm war es schätzungsweise um 9:00 Uhr?

Mit (x₁, y₁) = (8, 12), (x₂, y₂) = (12, 20) und x = 9 ergibt sich m = (20 − 12) / (12 − 8) = 2. Damit ist y = 12 + (9 − 8) · 2 = 14 °C. Diese Schätzung gilt nur, wenn die Temperatur zwischen 8:00 und 12:00 Uhr in etwa linear ansteigt.

Wann lineare Interpolation an ihre Grenzen stößt

Die Methode liefert nur dann gute Ergebnisse, wenn die zugrunde liegende Funktion zwischen den beiden Stützpunkten näherungsweise linear ist. Bei nichtlinearen Verläufen (z. B. quadratisch, exponentiell, sinusförmig) entstehen systematische Fehler.

Für mehr als zwei Stützpunkte oder für genauere Ergebnisse bei gekrümmten Daten eignen sich höherwertige Verfahren wie quadratische Interpolation, kubische Splines, Lagrange-Polynome oder die Polynomanpassung nach kleinster Quadrate.

FAQ: Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Interpolation und Extrapolation?+

Bei der Interpolation liegt der gesuchte x-Wert zwischen den beiden bekannten Punkten (x₁ ≤ x ≤ x₂). Bei der Extrapolation liegt er außerhalb dieses Intervalls. Extrapolation ist deutlich unsicherer, weil das lineare Modell außerhalb der Stützpunkte oft nicht mehr gilt.

Wie genau ist die lineare Interpolation?+

Sie ist exakt, wenn die zugrunde liegende Funktion tatsächlich linear ist. Bei gekrümmten Verläufen ist der Fehler umso kleiner, je näher die beiden Stützpunkte beieinander liegen.

Was passiert, wenn x₁ = x₂?+

Dann existiert keine eindeutige Gerade durch beide Punkte (außer einer senkrechten Geraden ohne Funktion y = f(x)). Der Rechner gibt in diesem Fall einen Hinweis aus.

Wie berechne ich die Steigung der Geraden?+

Die Steigung ist m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁). Sie zeigt an, um wie viel y zunimmt, wenn x um eine Einheit steigt.

Kann ich auch mehr als zwei Stützpunkte verwenden?+

Bei mehr als zwei Stützpunkten interpoliert man typischerweise abschnittsweise linear (zwischen je zwei benachbarten Punkten) oder verwendet höherwertige Verfahren wie kubische Splines.

Quellen

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