DR

Integralrechner

Funktion und Grenzen

Numerische Methode

  • • Ungültige Funktion.
  • • Dies ist eine numerische Näherung – kein vollständiges Computer-Algebra-System.
Bestimmtes Integral ∫ₐᵇ f(x) dx—
Verwendete MethodeSimpson-Regel
Teilintervalle100
Schrittweite h0,020000
Funktionsauswertungen0

Hinweis zur Näherung

Der Integralwert wird numerisch berechnet (Simpson- oder Trapezregel). Für glatte Funktionen wie Polynome, Sinus, Exponentialfunktionen ist die Genauigkeit bei n ≥ 100 in der Regel sehr hoch. Polstellen und Sprungstellen führen zu Fehlern.

Beispiel: ∫₀² x² dx = 8/3 ≈ 2,6667. Mit Simpson-Regel und n = 100 liefert der Rechner praktisch denselben Wert.

Erklärung

Das bestimmte Integral entspricht anschaulich der Fläche zwischen Funktionsgraph und x-Achse zwischen den Grenzen a und b. Für viele Funktionen ist diese Fläche numerisch sehr genau bestimmbar – auch ohne explizite Stammfunktion.

Der Rechner verwendet dabei die Simpson-Regel (höhere Genauigkeit für glatte Funktionen) oder die Trapezregel. Erlaubt sind klassische Funktionen wie Polynome, sin(x), cos(x), exp(x), ln(x) und Wurzelfunktionen.

Wichtig: Der Rechner ist kein vollständiges Computer-Algebra-System. Er liefert eine numerische Näherung, keine symbolische Stammfunktion.

So funktioniert es

  1. Geben Sie f(x) ein, z. B. x^2, sin(x), exp(x) oder x^3 - 2*x.
  2. Tragen Sie die Untergrenze a und die Obergrenze b ein.
  3. Wählen Sie die Methode und die Anzahl der Teilintervalle n (mehr = genauer).
  4. Der Rechner zeigt sofort den Näherungswert, die Schrittweite und die Anzahl der Funktionsauswertungen.

Formel

∫ₐᵇ f(x) dx ≈ (h/3) · [f(x₀) + 4·f(x₁) + 2·f(x₂) + … + f(xₙ)] (Simpson-Regel)

h = (b − a) / n. Für Trapezregel gilt: ∫ₐᵇ f(x) dx ≈ (h/2) · [f(x₀) + 2·f(x₁) + … + 2·f(xₙ₋₁) + f(xₙ)].

Beispiel aus dem Alltag

Eine Studentin möchte ∫₀² x² dx berechnen. Die exakte Lösung ist 8/3 ≈ 2,6667. Mit Simpson-Regel und n = 100 liefert der Rechner ebenfalls 2,6667 – die Näherung ist hier praktisch exakt.

Für ∫₀^π sin(x) dx liefert der Rechner ≈ 2,0000 (exakter Wert ist 2). Auch hier ist die Genauigkeit sehr hoch.

FAQ: Häufige Fragen

Welche Funktionen werden unterstützt?+

Polynome, sin, cos, tan, exp, ln, log, sqrt, abs sowie die Konstanten pi und e – kombiniert über +, −, *, /, ^ und Klammern.

Wie genau ist die Berechnung?+

Bei glatten Funktionen und n ≥ 100 ist die Simpson-Regel bei einfachen Beispielen praktisch exakt. Polstellen oder Sprünge können zu Fehlern führen.

Liefert der Rechner symbolische Stammfunktionen?+

Nein. Der Rechner ist eine numerische Näherung – kein vollständiges Computer-Algebra-System.

Quellen

Verwandte Rechner