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Binomialverteilung Rechner

Parameter der Verteilung

Gesuchtes Ereignis

Wahrscheinlichkeit24,6094 % (0,246094)
Berechnetes EreignisP(X = 5)
Erwartungswert μ = n · p5,0000
Varianz σ² = n · p · (1 − p)2,5000
Standardabweichung σ1,5811

Normalverteilungs-Approximation

Wegen n·p = 5,00 ≥ 5 und n·(1−p) = 5,00 ≥ 5 lässt sich die Binomialverteilung näherungsweise durch eine Normalverteilung N(μ, σ²) mit μ = 5,00 und σ ≈ 1,581 darstellen.

Voraussetzungen prüfen

Die Binomialverteilung gilt nur für unabhängige Versuche mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit p (Bernoulli-Experiment). Bei abhängigen Ziehungen (z. B. ohne Zurücklegen) ist die hypergeometrische Verteilung passender.

Was die Binomialverteilung beschreibt

Die Binomialverteilung modelliert die Anzahl der Erfolge in einer festen Anzahl n unabhängiger Wiederholungen eines Zufallsexperiments mit nur zwei möglichen Ausgängen: Erfolg (Wahrscheinlichkeit p) oder Misserfolg (Wahrscheinlichkeit 1 − p). Solche Experimente heißen Bernoulli-Experimente.

Eine Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit den Parametern n und p, kurz X ~ B(n, p), wenn sie die Anzahl der Erfolge in genau dieser Versuchsreihe zählt. X kann ganzzahlige Werte zwischen 0 und n annehmen.

Klassische Anwendungen sind Qualitätskontrollen (Anteil fehlerhafter Stücke), Würfelserien, medizinische Tests, Marktforschung mit Ja-/Nein-Fragen oder Wahlumfragen.

n, p und das gesuchte Ereignis eintragen

  1. Tragen Sie die Anzahl der Versuche n ein (z. B. 20 Würfe).
  2. Geben Sie die Erfolgswahrscheinlichkeit p als Dezimalzahl zwischen 0 und 1 ein (z. B. 0,5 für 50 %).
  3. Wählen Sie aus, welche Wahrscheinlichkeit Sie suchen: genau k, höchstens k, mindestens k, weniger/mehr als k oder ein Intervall a ≤ X ≤ b.
  4. Tragen Sie k oder die Grenzen a und b ein.
  5. Sie sehen sofort die gesuchte Wahrscheinlichkeit, den Erwartungswert μ, die Varianz σ² und die Standardabweichung σ.

Formel für Wahrscheinlichkeitsfunktion und Verteilungsfunktion

P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^(n − k) · P(X ≤ k) = Σ_{i=0}^{k} P(X = i)

C(n, k) ist der Binomialkoeffizient „n über k“. Erwartungswert μ = n · p, Varianz σ² = n · p · (1 − p), Standardabweichung σ = √(n · p · (1 − p)). Der Rechner berechnet alle Wahrscheinlichkeiten numerisch stabil im Logarithmus-Raum (lgamma), damit auch große n bis 5000 ohne Überlauf möglich sind.

Wann eine Normalverteilungs-Approximation sinnvoll ist

Für große n und p nicht zu nah an 0 oder 1 lässt sich die Binomialverteilung gut durch eine Normalverteilung mit Mittelwert μ = n · p und Varianz σ² = n · p · (1 − p) annähern. Eine verbreitete Faustregel ist n · p ≥ 5 und n · (1 − p) ≥ 5. Der Rechner zeigt einen Hinweis, sobald diese Bedingung erfüllt ist.

Bei kleinen p (z. B. seltene Ereignisse) und großen n ist stattdessen oft die Poisson-Verteilung mit Parameter λ = n · p eine sinnvollere Näherung.

Beispiel aus dem Alltag

Eine Konditorin verpackt 20 Pralinen pro Schachtel. Erfahrungsgemäß ist jede Praline mit Wahrscheinlichkeit p = 0,05 leicht beschädigt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Schachtel höchstens eine beschädigte Praline ist?

Mit n = 20, p = 0,05 und Modus „P(X ≤ k)“ bei k = 1 liefert der Rechner P(X ≤ 1) ≈ 0,7358 oder 73,58 %. Erwartungswert μ = 1 beschädigte Praline pro Schachtel, Standardabweichung σ ≈ 0,975.

Voraussetzungen und Grenzen des Modells

Die Binomialverteilung setzt voraus, dass die Versuche unabhängig voneinander sind und die Erfolgswahrscheinlichkeit p in jedem Versuch konstant bleibt. Bei Ziehungen ohne Zurücklegen aus einer kleinen Grundgesamtheit ist die hypergeometrische Verteilung exakter.

Der Rechner ist auf n ≤ 5000 begrenzt, um stabile Laufzeiten zu garantieren. Für sehr große Versuchszahlen empfiehlt sich die Normalverteilungs-Approximation.

FAQ: Häufige Fragen

Was bedeutet B(n, p)?+

B(n, p) bezeichnet die Binomialverteilung mit n unabhängigen Versuchen und Erfolgswahrscheinlichkeit p. Eine Zufallsvariable X ~ B(n, p) zählt die Anzahl der Erfolge in n Versuchen.

Wie berechne ich P(X ≥ k)?+

Es gilt P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1). Der Rechner führt diese Umrechnung automatisch über die kumulative Verteilungsfunktion durch.

Was ist der Unterschied zwischen Wahrscheinlichkeitsfunktion und Verteilungsfunktion?+

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion P(X = k) gibt die Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge an. Die Verteilungsfunktion P(X ≤ k) summiert alle Wahrscheinlichkeiten von 0 bis k.

Wann darf ich die Binomialverteilung nicht verwenden?+

Wenn die Versuche nicht unabhängig sind oder p von Versuch zu Versuch variiert. Beispiel: Karten aus einem Stapel ohne Zurücklegen ziehen — hier passt die hypergeometrische Verteilung.

Wann lohnt sich die Normalverteilungs-Approximation?+

Faustregel: Wenn n · p ≥ 5 und n · (1 − p) ≥ 5 erfüllt sind. Dann ist X näherungsweise N(n · p, n · p · (1 − p)) verteilt. Der Rechner zeigt diesen Hinweis automatisch an.

Quellen

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